Ước và bội – Một số kiến thức quan trọng cần nhớ

Ước và bội là một cách gọi mang tính trừu tượng hơn so với phép chia hết. Những em học sinh mới vào lớp 6 sẽ phải làm quen với cách gọi này và rất nhiều các bài tập liên quan sử dụng tính chất và định nghĩa về ước và bội của một số để tính toán và chứng minh. Bài ngày hôm nay ta sẽ cùng đi tìm hiểu về định nghĩa của ước và bội và các tính chất căn bản nhé.

1. Ước và bội

1.1 Thế nào là Ước và Bội của một số.

Cho số a bất kì chia hết cho số b (b khác a), khi đó ta nói số a được gọi là bội của b. Và ngược lại, số b là ước của  số a.

Ví dụ : 12 ⋮ 6 ⇒ khi đó 12 được gọi là bội của 6. Và 6 sẽ là ước của 12.

1.2. Làm thế nào để tìm bội của một số?

Để tìm các bội của một số khác 0  bất kì, ta sẽ thực hiện phép nhân số đó với lần lượt từng số 0, 1, 2, 3, …

Kí hiệu bội của một số B(a)

Ví dụ: Tìm bội của số tự nhiên 6: B(6) = {0 ; 6 ; 12 ; 18 ; … }

1.3. Làm thế nào để tìm ước của một số?

Để tìm ước của một số a (với a > 1), ta sẽ thực hiện phép chia, chia lần lượt a cho các số tự nhiên bắt đầu từ 1 đến số a. Khi đó, a chia hết cho số nào thì các số đó được gọi là ước của a.

Kí hiệu ước của một số Ư(a)

Ví dụ: Ư(12) = {12 ; 6 ; 4 ; 3 ; 2}

1.4. Số nguyên tố là gì?.

Khái niệm số nguyên tố: Số nguyên tố là một số tự nhiên luôn lớn hơn 1,và chỉ có hai ước là 1 và chính nó.

Ví dụ: Ư(13) = {13 ; 1} nên ta gọi 13 là số nguyên tố.

1.5. Ước chung và ước chung lớn nhất là gì?

• Ước chung của nhiều hơn 2 số chính là ước của tất cả các số đó.

• Ước chung lớn nhất (ƯCLN) của nhiều hơn 2 số chính là số lớn nhất trong một tập hợp gồm ước chung của tất cả các số đó.

1.6. Làm thế nào để tìm ước chung lớn nhất – ƯCLN?

Để tìm ƯCLN của của hai hay nhiều số với điều kiện lớn hơn 1, chúng ta sẽ thực hiện theo ba bước dưới đây

Bước 1: Phân tích từng số cần tìm ra các thừa số nguyên tố.

Bước 2: Từ tập hợp trên, chọn ra các thừa số nguyên tố chung.

Bước 3: Lập một tích các thừa số đã chọn, đối với lũy thừa, ta sẽ lấy lũy thừa với số mũ nhỏ nhất. Tích đó chính là ƯCLN mà ta phải tìm.

Ví dụ: Tìm ƯCLN của 18 và 30

Ta có:

Bước 1: phân tích 2 số ra thừa số nguyên tố.

18 = 2.32

30 = 2.3.5

Bước 2: Xét thấy có 2 thừa số nguyên tố chung, đó là 2 và 3

Bước 3: Tích của 2 thừa số nguyên tố chung chính là ƯCLN cần tìm :

ƯCLN (18; 30) = 2.3 = 6

*Chú ý:

• Nếu phải đi tìm ƯCLN của các số mà không tìm được thừa số nguyên tố chung thì ƯCLN của các số đó sẽ bằng 1.

• Đối với các số có ƯCLN bằng 1, ta gọi các số đó là các số nguyên tố cùng nhau.
• Để tìm được ước chung của các số đã cho, ta có thể tìm thông qua các ƯCLN của các số đó.

1.7. Bội chung và bội chung nhỏ nhất là gì?

• Bội chung của nhiều hơn hai số được gọi là bội của tất cả các số đó.

Nếu x ∈ BC (a, b) thì x ⋮ a và x ⋮ b

Nếu x ∈ BC (a, b, c) thì x ⋮ a; x ⋮ b; x ⋮ c

• Để tìm BCNN của hai hay nhiều số lớn hơn 1, ta thực hiện theo ba bước sau:

Bước 1: Phân tích từng số cần tìm ra các thừa số nguyên tố.

Bước 2: Từ tập hợp trên, chọn ra các thừa số nguyên tố chung.

Bước 3: Lập một tích các thừa số đã chọn, đối với lũy thừa, ta sẽ lấy lũy thừa với số mũ lớn nhất. Tích đó chính là BCNN mà ta phải tìm.

**Chú ý:

• Để tìm được ước chung của các số đã cho, ta có thể tìm thông qua các ƯCLN của các số đó.

3. Bài tập vận dụng

Trong bốn số 8; 14; 20; 25. Hãy tìm bội của số tự nhiên 4.

Hướng dẫn: Thực hiện phép tính theo 3 bước như trên.

Ta có:

8 = 2³ chia hết cho 4;

14 = 7.2 không chia hết cho 4;

20 = 2².5 chia hết cho 4; 

25 = 5² không chia hết cho 4.

Bội của 4 trong số 8; 14; 20; 25 là 8 và 20