Lý thuyết, Công Thức Và Cách Tính Diện Tích Mặt Cầu

Các dạng bài tập về diện tích mặt cầu là một trong những dạng bài tập thường xuyên có trong đề thi tốt nghiệp THPT Quốc gia. Các câu hỏi liên quan đến phần này thường nằm ở mức độ nhận biết và thông hiểu. Đây là những câu hỏi để thí sinh có thể có được điểm số một cách dễ dàng. Thế nhưng để có được những điểm số ấy, chúng ta phải nắm chắc các kiến thức  về lý thuyết, công thức,cách tính… Trong bài viết hôm nay, chúng ta sẽ cùng nhau ôn tập lại về lý thuyết, công thức và các dạng bài tập liên quan tới diện tích mặt cầu nhé!

 1. Ôn tập lý thuyết về mặt cầu, phương trình mặt cầu

Trước khi tìm hiểu về cách tính diện tích mặt cầu, chúng ta sẽ đi ôn lại những kiến thức cơ bản về mặt cầu.

1.1 Định nghĩa:

Định nghĩa 1: Mặt cầu tâm O bán kính R là tập hợp những điểm M sao cho OM=R

Định nghĩa 2: Hình tròn xoay bởi nửa đường tròn đường kính AB khi xoay quanh đường thẳng AB là mặt cầu có tâm là trung điểm O của AB, bán kính R=AB/2

1.2 Phương trình mặt cầu

Dạng tổng quát của phương trình mặt cầu: Trong không gian Oxyz, mặt cầu (S) có tâm O (a;b;c) và bán kính R có phương trình dạng tổng quát như sau:

Dạng khai triển của phương trình mặt cầu: Trong không gian Oxyz, mặt cầu (S) có tâm O (a,b,c) và bán kính R có phương trình dạng khai triển như sau:

2. Diện tích mặt cầu

Ở phần này chúng ta sẽ tìm hiểu về công thức để tính diện tích mặt cầu và làm một số bài tập ví dụ để nắm chắc cách áp dụng công thức.

Công thức:

Trong không gian Oxyz, diện tích mặt cầu (S) có tâm O (a;b;c) và bán kính R được tính theo công thức:

$\mathrm{Trong} \mathrm{đó}:$

• S: diện tích mặt cầu
• $$ $\mathrm{R}: \mathrm{Bán} \mathrm{kính} \mathrm{mặt} \mathrm{cầu}$

Ví dụ 1:

Cho mặt cầu (S) có bán kính R = 15. Tính diện tích mặt cầu S?

Hướng dẫn: Đề bài này đã cho chúng ta dữ liệu về độ dài của mặt cầu S. Chúng ta chỉ cần áp dụng công thức đã cho ở phía trên để tính diện tích mặt cầu (S);

Giải:

Ở bài tập này, chúng ta đã có được độ dài của bán kính R=15

${\mathrm{<img\; decoding="async"\; class="alignnone\; wp-image-15292\; lazy"\; src="data:image/svg+xml,\%3Csvg\%20xmlns=\text{'}http://www.w3.org/2000/svg\text{'}\%20viewBox=\text{'}0\%200\%20103\%2028\text{'}\%3E\%3C/svg\%3E"\; data-src="https://edisonschools.edu.vn/wp-content/uploads/2021/08/Screenshot-2021-09-26-093821.png"\; alt=""\; width="103"\; height="28">}}^{}=4\mathrm{\pi }.{15}^2=900\mathrm{\pi }\left(\mathrm{dvdt}\right)$

Ví dụ 2: 

Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A (6;4;5) và B (15;7;3). Tính diện tích mặt cầu S có đường kính AB?

 Hướng dẫn: Để tính được diện tích mặt cầu (S), ta cần biết được độ dài của bán kính R. Khác với bài tập ở ví dụ 1, bài tập này chúng ta chưa có độ dài của bán kính R. Chúng ta phải dựa vào dữ liệu mà đề bài đưa ra để xác định độ dài bán kính R. Cụ thể trong bài này, bán kính R=AB/2. Sau đó ta tính theo công thức để tính diện tích.

Giải

Ta có: Độ dài đoạn thẳng AB:

Sau khi tính được độ dài bán kính R. Ta áp dụng công thức ::

Ví dụ 3: 

Trong không gian Oxyz, mặt cầu (S) có tâm I là trung điểm của đoạn thẳng AB. Biết tọa độ hai điểm A (9;-1;-3) và B (-1;-1;-3). Hãy tính diện tích mặt cầu (S) ?

Hướng dẫn: Dựa vào tọa độ 2 điểm đã cho, ta có thể tính được độ dài đoạn thẳng AB. Từ đó ta suy ra bán kính của mặt cầu S và tính diện tích mặt cầu (S)  dựa trên độ dài bán kính tính được.

Giải:

Độ dài đoạn thẳng AB:

Suy ra: R=AB/2=5

Ta áp dụng công thức:

Còn rất nhiều dạng bài tập liên quan đến diện tích mặt cầu, các bạn hãy tìm hiểu và làm thêm nhiều bài tập hơn nữa để nắm và nhớ kĩ hơn kiến thức nhé.