Các dạng toán về đạo hàm và phương pháp giải Toán 11

Kiến thức về đạo hàm của một hàm số là kiến thức trọng tâm không chỉ trong nội dung chương trình lớp 11 mà còn là kiến thức dùng để ôn thi đại học. Những bài toán về đạo hàm có thể trải dài từ bài tập cơ bản đến vận dụng cao và yêu cầu các em học sinh phải học thuộc cũng như nắm vững công thức. Từ đó áp dụng linh hoạt để biến đổi cũng như tính toán theo yêu cầu của đề bài. Dưới đây sẽ là bài tập và những kiến thức cơ bản liên quan đến đạo hàm.

1. Kiến thức cần nhớ 

1.1 Kiến thức tổng quát

Cho hàm tổng quát u = u(x), v = v(x),  với C là hằng số bất kì. Ta có tính chất về đạo hàm như sau: 

• (u + v)’ = u’ + v’
• (u.v)’ = u’.v + v’.u ⇒ (C.u)’ = C.u’
• 
• y = f(x) và u = u(x) thì  y’x = y’u.u’x

1.2 Một số công thức đạo hàm liên quan

• (C)’ = 0 ; (x)’ = 1
•  ⇒ ; (n ∈ R, n ≥ 2)
• (sin x)’ = cos x  ⇒ Dạng tổng quát: (sin u)’ = u’ . cos u
• (cos x)’ = -sin x ⇒ Dạng tổng quát: (cos u)’ = -u’ . sin u
• 
• 

• Một số dạng bài tập liên quan đến đạo hàm 

2.1 Dạng bài tập 1: Viết phương trình tiếp tuyến của đường cong

Cho tiếp tuyến của đồ thị hàm số (C) có dạng: y = f(x) tại điểm có tọa độ M(xo; yo), khi đó phương trình có dạng là: y = f'(xo).(x – xo) + yo.

Trường hợp biết trước hệ số góc của đường tiếp tuyến: Nếu tiếp tuyến của đồ thị hàm số (C) có dạng y = f(x) với hệ số góc là k, khi đó ta gọi M(xo; yo) là tiếp điểm của đồ thị hàm với tiếp tuyến => f'(xo) = k 

• Giải phương trình f'(xo) = k  để tìm xo và từ đó suy ra yo f'(xo)
• Vậy phương trình tiếp tuyến phải tìm có dạng: y = k(x – xo) + yo.

Lưu ý:

• Hệ số góc của tiếp tuyến tại điểm M(xo; yo) ∈ (C) kí hiệu là k; khi đó k = f'(xo) = tanα. Với góc α là góc giữa chiều dương của trục hoành và tiếp tuyến tại điểm M.
• Khi hai đường thẳng song song với nhau, ta suy ra hệ số góc của chúng cũng bằng nhau.
• Khi hai đường thẳng vuông góc với nhau, ta có tích hệ số góc của chúng luôn bằng -1.

2.2 Dạng bài tập 2: Viết phương tiếp tuyến biết tiếp tuyến đi qua điểm A(x1; y1)

• Giả sử phương trình tiếp tuyến của hàm số y = f(x) tại điểm M(xo; yo) có dạng: y = f'(xo).(x – xo) + yo. (1)
• Vì tiếp tuyến đi qua điểm A(x1; y1) nên ta có: y1 = f'(xo).(x1 – xo) + f'(yo) (*)
• Tìm xo từ phương trình (*); sau đó thế xo vào (1) suy ra được phương trình tiếp tuyến của hàm đi qua điểm A.

3. Bài tập vận dụng

Bài tập 1: Áp dụng công thức, tính đạo hàm của các hàm số sau:

1. y = x³ – 2x²+3x+4
2. y = sinx – cosx + tan x
3. y = cotx – 3x + 2

Lời giải: Ta có:

1. y’ = (x³ – 2x²+3x+4)’ = 3x² – 4x +3
2. y’ = (sinx – cosx + tan x)’ = cosx + sinx +
3. y’ = (cotx – 3x + 2)’ = – 3

*** Ngoài ra dưới đây là bảng công thức đạo hàm của hàm số hợp, phức tạp hơn. Mong các em có thể sử dụng kiến thức trên để học tập tốt hơn.