Bài toán vận dụng giá trị tuyệt đối – Toán 7

Giá trị tuyệt đối là bài toán toán dễ gây nhầm lẫn cho các em học sinh. Giải bài toán chứa dấu giá trị tuyệt đối cũng phức tạp vì phải đối chiếu điều kiện, các phép biến đổi liên quan cũng hay gây nhầm lẫn cho các bạn học sinh. Ở bài ngày hôm nay chúng ta sẽ điểm qua vài nội dung lý thuyết quan trọng và các bài tập bổ trợ liên quan giúp các em học sinh nắm chắc kiến thức cơ bản.

1. Giá trị tuyệt đối của một số là gì?

Giá trị tuyệt đối của một số a bất kỳ chính là khoảng cách tính từ điểm a đến điểm 0 trên hệ trục tọa độ, khoảng cách đó được gọi là giá trị tuyệt đối của số a (điều kiện: a là số thực)

* Giá trị tuyệt đối của số a không âm sẽ là chính a, giá trị tuyệt đối của số âm a sẽ là số đối của số a.

• Nếu như a ≥ 0 thì |a| = a
• Nếu a < 0 thì |a| = -a
• Nếu như x – a ≥ 0 thì |x – a| = x – a
• Nếu x – a ≤ 0 thì |x – a| = a – x

2. Tính chất cơ bản của biểu thức có chứa giá trị tuyệt đối

• Giá trị tuyệt đối của tất cả mọi số đều không âm.
• Với |a| ≥ 0 với mọi số bất kì a ∈ R. Ta có:
• |a| =0 khi và chỉ khi a = 0
• |a| ≠ 0 khi và chỉ khi a ≠ 0
• Với hai số bằng nhau hoặc đối nhau thì giá trị tuyệt đối của hai số đó sẽ luôn bằng nhau. Và ngược lại, với hai số bất kỳ a và b có giá trị tuyệt đối bằng nhau thì chúng có thể là hai số bằng nhau hoặc đối nhau.
  • Khi |a| = |b| ta có: a = b hoặc a = -b
  • Mọi số bất kì luôn lớn hơn hoặc bằng giá trị đối của giá trị tuyệt đối của số đó và luôn luôn nhỏ hơn hoặc bằng giá trị tuyệt đối của số đó.
  • (–|a|) ≤ a ≤ |a| và -|a| = a khi a < 0; a = |a| khi a ≥ 0
  • Xét với hai số nhỏ hơn 0, số nào có giá trị nhỏ hơn thì giá trị tuyệt đối sẽ lớn hơn
  •  Nếu a < b < 0 sẽ có |a| > |b|
  • Xét với hai số dương, số nào có giá trị trong dấu trị tuyệt đối nhỏ hơn thì giá trị tuyệt đối sẽ nhỏ hơn
  • Nếu 0 < a < b sẽ có |a| < |b|
  • Khi tính giá trị tuyệt đối của một tích sẽ bằng tích các giá trị tuyệt đối đó.
  • |a.b| = |a|.|b|
  • Khi tính giá trị tuyệt đối của một thương sẽ bằng thương các giá trị tuyệt đối đó.
  • |a/b| = |a|/|b|
  • Bình phương trong dấu giá trị tuyệt đối của một số sẽ bằng bình phương của chính số đó: |a|² = a²
  • Tổng của hai giá trị tuyệt đối của nhiều hơn 2 số luôn luôn lớn hơn hoặc bằng giá trị tuyệt đối của các số, khi đó dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi các số có cùng dấu.
  •  |a| + |b| ≥ |a + b| và |a| + |b| = |a + b| khi và chỉ khi ab ≥ 0

3. Bài tập vận dụng

3.1 Dạng bài số 1: Tìm giá trị tuyệt đối của một số bất kỳ 

Bài tập 1: Tìm giá trị của x thỏa mãn điều kiện:

a) |2x – 5| = 4

Ta có: |2x – 5| = 4 2x – 5 = 4 hoặc 2x – 5 = – 4

TH1: 2x – 5 = 4 x = 9⁄2

TH2: 2x – 5 = -4 x = ½

Vậy có 2 giá trị x thỏa mãn: S = {½; 9⁄2 }

b) 1/3 – |5/4 – 2x| = ¼

Ta có: 1/3 – |5/4 – 2x| = ¼ ⇔ |5/4 – 2x| = ⅓ -¼ ⇔  |5/4 – 2x| = 1⁄12

TH1: 5/4 – 2x = 1⁄12 ⇔ x = 7⁄12

TH2: 5/4 – 2x = -1⁄12 ⇔ x = 2⁄3

Vậy có 2 giá trị x thỏa mãn: S = {7⁄12; 2⁄3}

3.2 Dạng toán 2: Tìm giá trị thỏa mãn phương trình có hai biểu thức chứa giá trị tuyệt đối.

Bài tập 2: Tìm giá trị x thỏa mãn

|x – 1| = |3x + 2|

Ta có: TH1: x – 1 = 3x + 2 ⇔ 2x = -3 ⇔ x = -3⁄2

TH2: x – 1 = -(3x + 2) ⇔ x – 1 = -3x – 2 ⇔  4x = -1 ⇔  x = -¼

*** Để làm các bài toán tìm giá trị của biểu thức có chứa dấu giá trị tuyệt đối, các em nên chú ý về dấu của số nằm trong giá trị tuyệt đối. Bên cạnh đó là các tính chất cần thiết để vận dụng giải bài tập hiệu quả.