Các dạng bài toán về căn bậc hai Toán 9 – 68 bài tập & lời giải

Căn bậc hai và các dạng bài tập liên quan là kiến thức cơ bản và là nền tảng để giải các bài tập ở những cấp cao hơn. Đối với các bạn học sinh lớp 9, đây là một trong số những kiến thức nền cơ bản được học và sẽ áp dụng để giải bài tập toán học cấp 3. Các dạng bài toán về căn thức bậc hai luôn là một dạng bài tập không thể thiếu trong chương trình thi vào lớp 10. Trong bài ngày hôm nay, chúng ta sẽ cùng đi tìm hiểu một số dạng bài tập tiêu biểu liên quan đến căn thức bậc hai và cách giải nhé!

1. Lý thuyết cơ bản:

• Với mọi số dương a, ta có số √a gọi là căn bậc hai số học của a. 
• Điều kiện để A là một căn thức xác định hay có nghĩa: Biểu thức A luôn lấy giá trị không âm.
• Hằng đẳng thức √A² = ΙAΙ
• Với mọi số a, ta có: √a² = ΙaΙ

2. Các dạng bài toán về căn thức bậc hai

• Dạng bài toán 1: Tìm điều kiện để một căn thức bậc hai là xác định hay có nghĩa.
• Dạng bài toán 2: Khai căn một biểu thức – Tính và rút gọn giá trị một biểu thức chứa căn
• Dạng bài toán 3: Giải phương trình có chứa căn thức bậc hai

• Khai căn một biểu thức
• Áp dụng để giải quyết các bài toán có dấu giá trị tuyệt đối

Chú ý: Một số phép biến đổi liên quan đến căn thức bậc hai:

3. Bài tập vận dụng

Bài tập 1: Tìm điều kiện của x để các căn thức dưới đây có nghĩa

a) xác định và có nghĩa khi và chỉ khi 9x + 45 ≥ 0 ⇔ 9x ≥ 45 ⇔ x ≥ 5

b) xác định và có nghĩa ⇔ 1⁄(-1+ 56x) ≥ 0 và (-1+ 56x) ≠ 0 ⇔ -1 + 56x > 0 ⇔  x > 1⁄56

c)

Ta có: x² ≥ 0 ∀x ⇔ 6x² ≥ 0 ∀x ⇔ 1 + 6x² ≥ 1 ∀x ⇒ 1 + 6x² > 0 ∀x

Vậy luôn xác định và có nghĩa với mọi x.

Bài tập 2: Giải phương trình

a) x² – 6 = 0

b) x² – 90 = 0

c) x² + 2√13 x + 13 = 0

d) x² -2√19 x + 19 = 0

Lưu ý: Trong những dạng bài tập như trên, chúng ta sẽ lưu ý áp dụng hằng đẳng thức để phân tích đa thức. Chú ý kết luận sau khi tìm được giá trị x.

Lời giải:

a) Ta có: x² – 6 = 0 ⇔ x² – (√6)² = 0 ⇔ (x – √6)(x + √6) = 0 ⇔ x = -√6 hoặc x = √6

Vậy tập nghiệm của phương trình trên là S= {-√6; √6}

b) Ta có: x² – 90 = 0 ⇔ x² – (√90)² = 0 ⇔ (x – √90)(x + √90) = 0 ⇔ x = -√90 hoặc x = √90

Vậy tập nghiệm của phương trình trên là S= {-√90; √90}

c) Ta có: x² + 2√13 x + 13 = 0 ⇔ x² + 2√13 x + (√13)² = 0

⇔  (x + √13)² = 0 ⇔ x + √13 = 0 ⇔ x = -√13

Vậy tập nghiệm của phương trình trên là S= {-√13}

d) Ta có: x² – 2√19 x + 19 = 0 ⇔ x² – 2√19 x + (√19)² = 0

⇔  (x – √19)² = 0 ⇔ x – √19 = 0 ⇔ x = √19

Vậy tập nghiệm của phương trình trên là S= {√19}

Bài tập 3: Phân tích đa thức chứa căn bậc hai sau thành nhân tử

a) x² + 2√3 x + 3

b) x² -2√7 x + 7

Hướng dẫn giải: để giải dạng bài toán phân tích đa thức thành nhân tử, ta sẽ áp dụng 7 hằng đẳng thức đáng nhớ đã được học và các tính chất cần có của căn bậc hai.

Lời giải:

1. Ta có: x² + 2√3 x + 3 = x² + 2√3 x + (√3)² =(x+√3)²
2. Ta có: x² – 2√7 x + 7 = x² – 2√7 x + (√7)² =(x+√7)²

Bài tập 4: Áp dụng hằng đẳng thức √A² = ΙAΙ, rút gọn biểu thức sau

Lời giải:

Ta có:

Ta có:

Ta có:

Bài tập 5: So sánh các đa thức sau:

1. 2 và √2+ 1
2. 1 và  √3– 1 

Giải:

1. Ta có: 1 < 2 nên √1 < √2 hay 1 < √2 ⇒ 1 + 1 < √2 + 1

Vậy 2 < √2 + 1 

2. Ta có: 4 > 3 nên √4 > √3 hay 2 > √3 ⇒ 2 – 1 > √3 – 1

Vậy 1 > √3 – 1 

*Qua dạng toán Biến đổi đơn giản biểu thức chứa căn thức bậc hai ngày hôm nay, chúng ta đã tìm hiểu được nội dung lý thuyết về căn thức và tóm tắt phương pháp giải các dạng bài tập tiêu biểu. Các bạn học sinh cần lưu ý các tính chất đặc trưng của căn thức cùng hằng đẳng thức quan trọng liên quan để áp dụng giải các dạng bài tập phù hợp. Hẹn gặp các bạn trong những bài sau để giải các bài toán vận dụng và vận dụng cao thường có trong các kỳ thi nhé!!!