Các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử

1. Những phương pháp phổ biến:

 Phương pháp 1: Giải bài toán bằng cách đặt nhân tử chung

Trong một biểu thức cho trước, quan sát, phân tích kỹ để lựa chọn những ẩn số hay hằng số là ước chung trong biểu thức đó và đặt làm nhân tử. Để dễ hiểu chúng ta có như sau: A.B + C.B – B.Q=B.(A + C-Q)

Quan trọng của việc đặt nhân tử đó chính là biến biểu thức thành tổng nhiều hạng tử ở dạng tích của nhiều đa thức, trong có 1 nhân tử chung. 

Phương pháp 2: Giải bài toán bằng cách dùng hằng đẳng thức

Để áp dụng thành thạo phương pháp này, các bạn học sinh cần nhớ kỹ và vận dụng được linh hoạt 7 hằng đẳng thức đáng nhớ để từ đó có thể dễ dàng phân tích đa thức thành nhân tử. 

Nhắc lại về các hằng đẳng thức cơ bản: Cho hai biểu thức A và B. Từ hai biểu thức này, ta có thể lập ra 7 hằng đẳng thức như sau

• (A + B)² = A² + 2AB + B²
• (A – B)²  = A²  – 2AB + B²

⇒ A² +B²  = (A-B)² – 2AB = (A+B)² – 2AB

• (A + B)(A – B) = A² – B²
• (A + B)³ = A³ + 3A²B + 3AB² + B³
• (A – B)³ = A³ – 3A²B + 3A² – B³
• (A + B)( A² – AB + B²) = A³ +B³
• (A – B)( A² + AB + B²) = A³ –B³

Chúng ta có thể vận dụng các tính chất của hằng đẳng thức  và từ đó biến đổi đa thức ban đầu thành tích các nhân tử hay biến đổi thành lũy thừa của một đa thức đơn giản.

Phương pháp 3: Nhóm nhiều hạng tử chung để giải

Ở phương pháp này, các bạn sẽ áp dụng tính chất giao hoán, kết hợp đã được học của phép cộng đa thức, từ đó ta có thể kết hợp những hạng tử chung của đa thức thành từng nhóm thích hợp; sử dụng các phương pháp khác nhau để phân tích nhân tử theo từng nhóm riêng biệt, sau đó phân tích chung đối với các nhóm. Sau khi đã nhóm nhân tử, áp dụng 2 phương pháp đặt nhân tử chung hay dùng hằng đẳng thức như trên để giải tiếp bài tập.

Phương pháp 4: Tách

Quan sát đa thức cho trước sau đó tách 1 hạng tử hợp lý có trong đa thức thành hai hoặc nhiều hạng tử thích hợp, từ đó làm xuất hiện các nhóm hạng tử chung mà chúng ta có thể vận dụng các phương pháp khác nhau để phân tích.

Phương pháp 5: Phương pháp thêm bớt cùng một hạng tử bất kỳ

Trong biểu thức cho sẵn, chúng ta có thể đồng thời thêm bớt 1 hạng tử bất kỳ thích hợp của đa thức để làm xuất hiện những nhóm hạng tử, từ đó có thể dễ dàng dùng các phương pháp khác để phân tích.

Trong một số trường hợp gặp khó khăn khi tìm hạng tử thích hợp, để phân tích được đa thức thành nhân tử, chúng ta phải đặt một biến phụ thích hợp, rồi từ đó giải bài toán.

2. Bài tập minh hoạ

Bài tập 1: Phân tích các đa thức cho dưới đây thành nhân tử

Lời giải:

Ta có thể quan sát được là rất khó để có thể sử dụng phương pháp nhóm hạng tử chung, dùng hằng đẳng thức. Trong bài toán này, dùng phương pháp thêm bớt hạng tử là sự lựa chọn hợp lý.

*** Để có thể giải thành thạo các bài tập liên quan, các em cần phải làm nhiều và đa dạng các dạng bài tập khác nhau liên quan đến phân tích đa thức thành nhân tử. Đây là dạng toán có thể dễ nếu làm nhiều, hiểu và nhanh nhạy trong cách nhóm hạng tử,… tuy vậy sẽ khó với những bạn lười làm bài tập.