Biến đổi đơn giản biểu thức chứa căn bậc hai

Ở bài Căn thức bậc hai, chúng ta đã cùng nhau đi tìm hiểu về lý thuyết và các dạng bài tập tiêu biểu liên quan đến căn thức bậc hai. Ở bài “biến đổi đơn giản biểu thức chứa căn thức bậc hai” ngày hôm nay, mình và các bạn sẽ cùng nhau đi tìm và giải những dạng bài thường gặp trong chương trình học và thi nhé.

1. Lý thuyết cơ bản:

• Với mọi số dương a, ta có số √a gọi là căn bậc hai số học của a. 
• Điều kiện để √A là một căn thức xác định hay có nghĩa: Biểu thức A luôn lấy giá trị không âm.
• Hằng đẳng thức √A² = ΙAΙ

Với mọi số a, ta có: √a² = Ιa

2. Các dạng bài toán về căn thức bậc hai

• Dạng bài toán 1: Tìm điều kiện để một căn thức bậc hai là xác định hay có nghĩa.

• Dạng bài toán 2: Khai căn một biểu thức – Tính và rút gọn giá trị một biểu thức chứa căn

• Dạng bài toán 3: Giải phương trình có chứa căn thức bậc hai

• • Khai căn một biểu thức
  • Giải bài toán có chứa dấu giá trị tuyệt đối

3. Bài tập vận dụng

Bài tập 1: Tìm điều kiện của x để các căn thức dưới đây có nghĩa

a)    b)    c)

d)

Lời giải:

a)  xác định và có nghĩa ⇔ 2x + 7 ≥ 0 ⇔ x ≥ -7⁄2

b) xác định và có nghĩa ⇔ 1⁄(-1+x) ≥ 0 và (-1+x) ≠ 0 ⇔ -1 + x > 0 ⇔  x > 1

c)

Ta có: x² ≥ 0 ∀x ⇔ 1 + x² ≥ 1 ∀x ⇒ 1 + x² > 0 ∀x

Vậy luôn xác định và có nghĩa với mọi x.

d)

xác định và có nghĩa ⇔ 3x ≥ 0 ⇔ x ≥ 0

  xác định và có nghĩa ⇔ 9 – 3x ≥ 0 ⇔ 3x ≤ 9 ⇔ x ≤ 3

xác định và có nghĩa ⇔ x + 8 ≥ 0 ⇔ x ≥ -8

Bài tập 2: Rút gọn biểu thức sau

a) √(3 – 5a)² với a < 3⁄5

b) √(5 – √5)²

c) √(3 – √11)²

Lời giải:

Ta có: √(3 – 5a)² = Ι3 – 5aΙ = 5a – 3 vì a < 3⁄5

Ta có: √(5 – √5)² = Ι5 – √5Ι = 5 – √5 vì 5 > √5

Ta có: √(3 – √11)² = Ι3 – √11Ι = √11 – 3 vì √5 > 3

Bài tập 3: Tìm giá trị của biểu thức x

a) √x² = 7              b) √x² = Ι-8Ι              c) √9x² = Ι-12Ι

Lời giải:

a) √x² = 7 ⇔ ΙxΙ  = 7 ⇔ x = ±7

b) √x² = Ι-8Ι ⇔ ΙxΙ  = 8 ⇔ x = ±8

c) √9x² = Ι-12Ι ⇔ Ι3xΙ  = 12 ⇔ 3x = ±12 ⇔ x = ±4

Bài tập 4: Phân tích đa thức thành nhân tử

a) x² – 3

b) x² – 6

c) x² + 2√3 x + 3

d) x² -2√7 x + 7

Hướng dẫn giải: để giải dạng bài toán phân tích đa thức thành nhân tử, ta sẽ áp dụng 7 hằng đẳng thức đáng nhớ đã được học và các tính chất cần có của căn bậc hai.

Lời giải:

1. Ta có: x² – 3 = x² – (√3)² = (x – √3)(x + √3)
2. Ta có: x² – 6 = x² – (√6)² = (x – √6)(x + √6)
3. Ta có: x² + 2√3 x + 3 = x² + 2√3 x + (√3)² =(x+√3)²
4. Ta có: x² – 2√7 x + 7 = x² – 2√7 x + (√7)² =(x+√7)²

Bài tập 5: Tìm điều kiện của x để các căn thức dưới đây có nghĩa

a) xác định và có nghĩa khi và chỉ khi 9x + 45 ≥ 0 ⇔ 9x ≥ 45 ⇔ x ≥ 5

b) xác định và có nghĩa ⇔ 1⁄(-1+ 56x) ≥ 0 và (-1+ 56x) ≠ 0 ⇔ -1 + 56x > 0 ⇔  x > 1⁄56

c)

Ta có: x² ≥ 0 ∀x ⇔ 6x² ≥ 0 ∀x ⇔ 1 + 6x² ≥ 1 ∀x ⇒ 1 + 6x² > 0 ∀x

Vậy luôn xác định và có nghĩa với mọi x.

Bài tập 6: Giải phương trình

a) x² – 6 = 0

b) x² – 90 = 0

c) x² + 2√13 x + 13 = 0

d) x² -2√19 x + 19 = 0

Lưu ý: Trong những dạng bài tập như trên, chúng ta sẽ lưu ý áp dụng hằng đẳng thức để phân tích đa thức. Chú ý kết luận sau khi tìm được giá trị x.

Lời giải:

a) Ta có: x² – 6 = 0 ⇔ x² – (√6)² = 0 ⇔ (x – √6)(x + √6) = 0 ⇔ x = -√6 hoặc x = √6

Vậy tập nghiệm của phương trình trên là S= {-√6; √6}

b) Ta có: x² – 90 = 0 ⇔ x² – (√90)² = 0 ⇔ (x – √90)(x + √90) = 0 ⇔ x = -√90 hoặc x = √90

Vậy tập nghiệm của phương trình trên là S= {-√90; √90}

c) Ta có: x² + 2√13 x + 13 = 0 ⇔ x² + 2√13 x + (√13)² = 0

⇔  (x + √13)² = 0 ⇔ x + √13 = 0 ⇔ x = -√13

Vậy tập nghiệm của phương trình trên là S= {-√13}

d) Ta có: x² – 2√19 x + 19 = 0 ⇔ x² – 2√19 x + (√19)² = 0

⇔  (x – √19)² = 0 ⇔ x – √19 = 0 ⇔ x = √19

Vậy tập nghiệm của phương trình trên là S= {√19}

Bài tập 7: (Đố vui) Hãy tìm điểm sai lệch trong phép chứng minh con muỗi nặng bằng con voi như hình dưới đây:

Hướng dẫn giải:

Quan sát thật kỹ các phép biến đổi trên, ta nhận thấy: Sau khi lấy căn bậc hai của 2 vế của 2 đẳng thức

(m-V)² = (V-m)²

Khi đó ta được kết quả là Ιm – VΙ = ΙV – mΙ

*Qua dạng toán Biến đổi đơn giản biểu thức chứa căn thức bậc hai ngày hôm nay, chúng ta đã tìm hiểu được nội dung lý thuyết về căn thức và tóm tắt phương pháp giải các dạng bài tập tiêu biểu. Các bạn học sinh cần lưu ý các tính chất đặc trưng của căn thức cùng hằng đẳng thức quan trọng liên quan để áp dụng giải các dạng bài tập phù hợp. Hẹn gặp các bạn trong những bài sau để giải các bài toán vận dụng và vận dụng cao thường có trong các kỳ thi nhé!!!