Các bài toán quan trọng về căn thức bậc hai

Căn thức bậc hai là một trong những nội dung quan trọng mở đầu chương trình toán lớp 9. Các dạng bài toán về căn thức bậc hai luôn là một dạng bài tập không thể thiếu trong chương trình thi vào lớp 10. Vì vậy các bạn cần học nghiêm túc và nắm chắc dạng bài toán này này ngay từ đầu.  Trong bài ngày hôm nay, chúng ta sẽ cùng đi tìm hiểu một số dạng bài tập tiêu biểu liên quan đến căn thức bậc hai và cách giải nhé!

1. Định nghĩa 

Căn bậc hai số học là gì?

• • • Với mọi số dương a, ta có số √a gọi là căn bậc hai số học của a

Chú ý: Số 0 được coi là căn bậc hai số học của chính nó. √0 = 0

Căn thức bậc hai là gì?

• • • Với A là một biểu thức đại số, người ta gọi √A là căn thức bậc hai của A.
    • Và biểu thức A được định nghĩa là biểu thức dưới dấu căn hoặc biểu thức lấy căn.

Chú ý: Điều kiện để √A là một căn thức xác định hay có nghĩa: Biểu thức A luôn lấy giá trị không âm.

2. Hằng đẳng thức

Hằng đẳng thức √A² = ΙAΙ

Với mọi số a, ta có: √a² = ΙaΙ

3. Ví dụ cụ thể 

Ví dụ 1: Xác định giá trị của x để các biểu thức sau là biểu thức có nghĩa

Lời giải:

xác định và có nghĩa ⇔ 3x ≥ 0 ⇔ x ≥ 0

  xác định và có nghĩa ⇔ 9 – 3x ≥ 0 ⇔ 3x ≤ 9 ⇔ x ≤ 3

xác định và có nghĩa ⇔ x + 8 ≥ 0 ⇔ x ≥ -8

Ví dụ 2: Áp dụng hằng đẳng thức √A² = ΙAΙ, rút gọn biểu thức sau

Lời giải:

Ta có:

Ta có:

Ta có:

*Qua các định nghĩa và những ví dụ minh họa trên, hy vọng các bạn đã hiểu rõ và nắm chắc kiến thức nền đầu tiên liên quan quan đến căn thức bậc hai. Sau đây chúng ta sẽ cùng điểm qua một số dạng bài tập thường gặp nhất trong chương trình và tóm tắt cách giải.

4. Các dạng bài tập thường gặp

Dạng bài toán 1: Tìm điều kiện để một căn thức bậc hai là xác định hay có nghĩa.

•  √A xác định (hay có nghĩa) ⇔ A ≥ 0
• Giải bất phương trình A ≥ 0
• Kết luận.

Dạng bài toán 2: Khai căn một biểu thức – Tính và rút gọn giá trị một biểu thức chứa căn

• Khai căn biểu thức áp dụng hằng đẳng thức
• Rút gọn

Dạng bài toán 3: Giải phương trình có chứa căn thức bậc hai:

• Khai căn một biểu thức
• Giải phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối

Chú ý: Một số phép biến đổi liên quan đến căn thức bậc hai:

5. Giải bài tập cơ bản trong SGK

Bài 9 (SGK trang 11) Tìm x biết:

a) √x² = 7              b) √x² = Ι-8Ι              c) √9x² = Ι-12Ι

Lời giải:

a) √x² = 7 ⇔ ΙxΙ  = 7 ⇔ x = ±7

b) √x² = Ι-8Ι ⇔ ΙxΙ  = 8 ⇔ x = ±8

c) √9x² = Ι-12Ι ⇔ Ι3xΙ  = 12 ⇔ 3x = ±12 ⇔ x = ±4

Bài 12 (SGK trang 11) Tìm điều kiện của x để các căn thức dưới đây có nghĩa

a)    b)    c)

Lời giải:

a)  xác định và có nghĩa ⇔ 2x + 7 ≥ 0 ⇔ x ≥ -7⁄2

b) xác định và có nghĩa ⇔ 1⁄(-1+x) ≥ 0 và (-1+x) ≠ 0 ⇔ -1 + x > 0 ⇔  x > 1

c)

Ta có: x² ≥ 0 ∀x ⇔ 1 + x² ≥ 1 ∀x ⇒ 1 + x² > 0 ∀x

Vậy luôn xác định và có nghĩa với mọi x.

Bài tập: Phân tích đa thức thành nhân tử

a) x² – 3

b) x² – 6

c) x² + 2√3 x + 3

d) x² -2√7 x + 7

Hướng dẫn giải: để giải dạng bài toán phân tích đa thức thành nhân tử, ta sẽ áp dụng 7 hằng đẳng thức đáng nhớ đã được học và các tính chất cần có của căn bậc hai.

Lời giải:

1. Ta có: x² – 3 = x² – (√3)² = (x – √3)(x + √3)
2. Ta có: x² – 6 = x² – (√6)² = (x – √6)(x + √6)
3. Ta có: x² + 2√3 x + 3 = x² + 2√3 x + (√3)² =(x+√3)²
4. Ta có: x² – 2√7 x + 7 = x² – 2√7 x + (√7)² =(x+√7)²

*Qua bài toán về Căn thức bậc hai ngày hôm nay, chúng ta đã tìm hiểu được nội dung lý thuyết về căn thức và tóm tắt phương pháp giải các dạng bài tập tiêu biểu. Các bạn học sinh cần lưu ý các tính chất đặc trưng của căn thức cùng hằng đẳng thức quan trọng liên quan để áp dụng giải các dạng bài tập phù hợp. Hẹn gặp các