Lý thuyết & 99 bài tập khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số lớp 12

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số nằm trong những bài đầu của chương trình toán lớp 12. Đây là kiến thức cơ bản và quan trọng trong chương trình toán THPT nói chung và chương trình toán lớp 12 nói riêng. Học sinh cần phải nắm chắc cách khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số để có thể học tốt chương trình toán 12, vì các chương sau của chương trình toán 12 sẽ áp dụng kiến thức về khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số. Hôm nay chúng ta sẽ cùng nhau tìm hiểu cách khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số đồng nắm chắc kiến thức hơn thông qua một số bài tập ví dụ.

Phần 1: Tóm tắt  lý thuyết về cách khảo sát  sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số

Ở phần 1, chúng ta sẽ cùng tìm hiểu các bước cơ bản để khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số. Sau đó sẽ tìm hiểu một số dạng đồ thị thường gặp cụ thể. Sang phần hai, chúng ta sẽ cùng giải một số bài tập ví dụ về khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số.

1. Cách khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số

3. Một số dạng đồ thị của các hàm số thường gặp

a) Các dạng hàm số bậc 3: y=ax³+bx²+c (a≠0)

Phần 2: Một số bài tập ví dụ

Ở phần này chúng ta sẽ cùng làm một số dạng bài tập liên quan tới khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số để nắm chắc kiến thức hơn. Ngoài những bài tập được nêu ra trong phần này, học sinh phải tích cực tìm tòi, làm nhiều bài tập hơn để có thể nắm vững kiến thức hơn vì những bài tập liên quan đến khảo sát đồ thị và vẽ đồ thị hàm số rất đa dạng và rất thường được ra trong đề thi tốt nghiệp THPT.

Dạng bài toán 1: Khảo sát sự biến thiên, vẽ đồ thị hàm số 

Bài 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số: 

1. y = x3 + 3x2 – 4 

1. y = x4 – x2 + 1. 

Lời giải: 

1. a) Ta lần lượt có: 

Hàm số xác định trên D = . 

Sự biến thiên của hàm số:   

Giới hạn của hàm số tại vô cực:  

= [x3(1 + – )] = . 

Bảng biến thiên: 

y’ = 3x2 + 6x,  y’ = 0 Û 3x2 + 6x = 0 Û .  

Từ bảng biến thiên, ta có: 

• Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng (–¥; –2) và (0; +¥). 
• Hàm số đồng biến trên khoảng (–2; 0). 
• Hàm số đạt cực đại tại điểm (–2; 0) và cực tiêu tại điểm (0; –4). 

Đồ thị của hàm số: 

• Điểm uốn: 

y” = 6x + 6, y” = 0 Û 6x + 6 = 0 Û x = -1. 

Vì y” đổi dấu khi x qua điểm -1 nên đồ thị hàm số có một điểm uốn  là I(–1; –2). 

• Giao của đồ thị hàm số với trục tung là A(0; –4). 
• Giao của đồ thị hàm số với trục hoành: 

x3 + 3x2 – 4 = 0 Û (x – 1)(x2 + 4x + 4) = 0 Û Þ B(1; 0). 

1. b) Ta lần lượt có: 

Hàm số xác định trên D = . 

Sự biến thiên của hàm số:   

• Giới hạn của hàm số tại vô cực: 

=  

• Bảng biến thiên: 

y’ = 4x3 – x, y’ = 0 Û 4x3 – 2x = 0 Û x = 0 hoặc  

HS kết tuận theo bảng biến thiên. 

Đồ thị của hàm số: 

• Điểm uốn:  

y” = 12x2 – 2, y” = 0 Û 12x2 – 2 = 0 Û x = ±. 

Vì y” đổi dấu khi x qua các điểm ± nên đồ thị hàm số có hai điểm uốn là và . 

• Ta tìm thêm vài điểm trên đồ thị A(-1; 1), B(1; 1). 

1. c) Khảo sát sự biến thiên, vẽ đồ thị hàm số

Ta lần lượt có:  

Hàm số xác định trên  

Sự biến thiên của hàm số:   

• Giới hạn của hàm số tại vô cực, giới hạn vô cực và các đường tiệm cận: 

nên y = 1 là đường tiệm cận ngang. 

nên x = 2 là đường tiệm cận đứng. 

• Bảng biến thiên: 

với mọi xÎD  

Þ hàm số nghịch biến trên D.  

Đồ thị của hàm số: Lấy thêm các điểm: 

và B(–1; 0). 

Hàm số được viết lại dưới dạng , nên đồ thị của nó được suy ra bằng cách lấy đối xứng đồ thị (H) qua trục Ox (đường nét đứt). 

Trên đây là các lý thuyết, các bước để khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số cùng với một số bài tập ví dụ cơ bản. Hy vọng thông qua các bài trên sẽ giúp học sinh nắm rõ cách làm các bài tập liên quan đến khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số hơn. Đây không phải một kiến thức quá khó đối với học sinh, nhưng nó rất quan trọng, vì thế học sinh phải nắm vững và thành thạo cách làm các dạng bài tập này.