Ôn Tập Lý Thuyết Về Phương Trình Mặt Cầu Toán Lớp 12

Những dạng toán về phương trình mặt cầu là một trong những dạng toán quan trọng mà học sinh cần nắm chắc trong chương trình toán THPT, và đây cũng là dạng bài tập thường xuyên được Bộ giáo dục đưa vào trong đề thi Tốt nghiệp THPT Quốc gia. Nếu nắm chắc kiến thức về phương trình mặt cầu, học sinh sẽ rất dễ dàng có được những điểm số tối thiểu trong bài thi tốt nghiệp. Kiến thức về phương trình mặt cầu tuy không khó hiểu, khó nhớ, nhưng chúng ta vẫn phải ôn tập kĩ để nắm chắc kiến thức và áp dụng giải bài tập. Vì thế, hôm nay chúng ta sẽ cùng ôn tập lại những kiến thức liên quan đến phương trình mặt cầu để có thể nhớ kĩ, nhớ lâu và áp dụng vào bài tập một cách thuần thục hơn.

Phần I: Lý thuyết về phương trình mặt cầu

1. Định nghĩa mặt cầu và khối cầu

Ở phần này, chúng ta sẽ ôn lại định nghĩa của mặt cầu và khối cầu trước khi tìm hiểu kiến thức về phương trình mặt cầu.

Định nghĩa mặt cầu:Mặt cầu tâm O bán kính R là tập hợp các điểm M trong không gian cách điểm O một khoảng R cố định không đổi.

Kí hiệu:

Định nghĩa khối cầu: Khối cầu tâm O bán kính R là tập hợp các điểm M thuộc mặt cầu và nằm trong mặt cầu.

Kí hiệu: 

2. Phương trình mặt cầu dạng chính tắc

Trong không gian Oxyz, mặt cầu S có tâm I(a;b;c) và bán kính R có phương trình dạng chính tắc như sau: 

3. Phương trình mặt cầu dạng tổng quát

Trong không gian Oxyz, mặt cầu (S) có tâm I(a;b;c) và bán kính R có phương trình dạng tổng quát như sau:

Để (*) là phương trình của mặt cầu (S):

Mặt cầu (S) có tâm I (a,b,c) và bán kính R:

Phần II: Những kiến thức liên quan đến phương trình mặt cầu

1. Vị trí tương đối giữa mặt phẳng và mặt cầu

Ở phần này chúng ta sẽ tìm hiểu về các vị trí tương đối giữa mặt phẳng và mặt cầu, đây cũng là một trong những dạng câu hỏi và bài tập quan trọng trong chương trình toán THPT

Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu S(O;R) và mặt phẳng (P). Gọi M là hình chiếu vuông góc của O lên (P). Gọi d là khoảng cách từ mặt cầu đến mặt phẳng: 

• Trường hợp mặt cầu và mặt phẳng không có điểm chung (không cắt  nhau): d>R
• Trường hợp mặt cầu và mặt phẳng có một điểm chung (mặt cầu và mặt phẳng tiếp xúc với nhau): d=R
• Trường hợp mặt cầu và mặt phẳng có vô số điểm chung (cắt nhau): d<R 

2. Các công thức liên quan

Dựa vào phương trình của mặt cầu, ta có thể dễ dàng tính được bán kính R của mặt cầu. Từ đó, ta có thể dễ dàng tính được cả thể tích cũng như diện tích của nó. Ở phần này các bạn sẽ được cung cấp các công thức và kiến thức về diện tích mặt cầu và thể tích của khối cầu.

a. Diện tích mặt cầu

Trong không gian Oxyz, mặt cầu S (O;R) có diện tích được tính theo công thức sau:

b. Thể tích khối cầu

Trong không gian Oxyz, khối cầu S(O;R) có thể tích được tính theo công thức sau:

Như vậy là chúng ta đã tìm hiểu xong lý thuyết về phương trình mặt cầu và các kiến thức liên quan về phương trình mặt cầu. Để có thể nắm chắc kiến thức hơn cũng như áp dụng vào bài tập một cách nhuần nhuyễn hơn, các bạn hãy tìm hiểu thêm và làm thêm nhiều bài tập về phương trình mặt cầu và các dạng bài tập liên quan nhé!