Diện Tích Xung Quanh Và Diện Tích Toàn Phần Của Hình Hộp Chữ Nhật

Trong chương trình toán học lớp 5, lớp 8 và lớp 11, hình học không gian là một học phần rất quan trọng cả trong bài kiểm tra và trong thực tế. Tuy vậy, đây là một học phần không hề đơn giản ngay cả đối với khối hình cơ bản như hình hộp chữ nhật. Do đó, cùng tìm hiểu cách tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của hình hộp chữ nhật nhé!

1.Định nghĩa

1.1 Thế nào là hình hộp chữ nhật?

Hình hộp chữ nhật là một trong những hình không gian có 6 mặt đều. Và 6 mặt đó là những hình chữ nhật bằng nhau.

Trong ví dụ trên, ta có: Các đỉnh là: Đỉnh A, B, C, D, E, F, G, H

Các đoạn thẳng cấu tạo: AB, BC, CD, DA, HE, EF, FG, GH, AH, BE, CF, DG

Đáy: ABCD, EFGH

Các mặt bên:  ABEH, DCFG, ADGH, CBEF

Cách đọc tên hình hộp chữ nhật: [tên đáy thứ nhất].[tên đáy thứ hai]

Trong trường hợp này: ta đọc tên: ABCD.EFGH.

• Các kích thước của hình hộp chữ nhật: Gồm chiều cao, chiều dài, chiều rộng.

Chiều cao của hình hộp chữ nhật là các đoạn nối một trong các đỉnh của đáy này với đáy còn lại,  gồm các đoạn : AH, BE, CF, DG.

Chiều rộng của hình hộp chữ nhật là các chiều rộng của đáy, gồm các đoạn: EF, GH, AD, BC.

Chiều dài của hình hộp chữ nhật là các chiều dài của đáy, gồm các đoạn: AB, CD, HE, GF.

Lưu ý: Việc gọi đâu là Mặt đáy, mặt bên của hình hộp chữ nhật phụ thuộc vào việc ta xoay khối hình như thế nào, kéo theo là việc xác định các kích thước: chiều dài, chiều rộng, chiều cao. Vì thế, cần xác định rõ đâu là mặt đáy căn cứ vào cách gọi tên.

1.2. Đặc điểm của hình hộp chữ nhật:

• Hai mặt bên đối diện có diện tích bằng nhau, có chu vi bằng nhau.
• Hai mặt đáy có diện tích bằng nhau, có chu vi bằng nhau.
• Tất cả các đường cao luôn song song với nhau và vuông góc với hai mặt đáy.
• Tất cả các chiều cao của hình đều bằng nhau
• Tất cả các chiều rộng của hình đều bằng nhau
• Tất cả các chiều dài của hình đều bằng nhau.

1.3. Thế nào là diện tích xung quanh, diện tích toàn phần?

• Diện tích xung quanh là tổng diện tích của các mặt bên (4 mặt). Kí hiệu: Sxq
• Diện tích toàn phần là tổng diện tích của các mặt bên và 2 mặt đáy. Kí hiệu: Stp

Trong ví dụ này, cho hai đáy là ABCD và EFGH.

Hình hộp chữ nhật ABCD.EFGH có diện tích xung quanh là: 

Hình hộp chữ nhật ABCD.EFGH có diện tích toàn phần là: 

2. Các công thức:

2.1. Diện tích xung quanh:

Ta có: diện tích xung quanh là tổng diện tích của các mặt bên (4 mặt). qui về công thức, ta có:

Mà ta lại có tính chất của hình hộp chữ nhật là hai mặt bên  đối diện  có diện tích bằng nhau, do đó, ta có công thức:

(trong đó và là diện tích của hai mặt bên kề nhau).

Mà mặt bên thì được tạo nên từ chiều dài hoặc chiều rộng và chiều cao. Do đó, hai mặt bên kề nhau thì có diện tích lần lượt:

chiều cao × chiều dài và chiều cao × chiều rộng

qui về công thức:

Mà 2 × (chiều dài + chiều rộng) đúng bằng chu vi đáy vì vậy: ta có được công thức tổng quát:

Phát biểu bằng lời: Muốn tính diện tích xung quanh của hình hộp chữ nhật, ta lấy chu vi đáy nhân với chiều cao.

2.2. Diện tích toàn phần:

Ta có: diện tích toàn phần là tổng diện tích của các mặt bên (4 mặt) và hai đáy qui về công thức, ta có:

Mà diện tích của hai đáy bằng nhau, do đó:

( trong đó,là diện tích của một trong hai đáy)

Phát biểu bằng lời: Muốn tính diện tích toàn phần của hình hộp chữ nhật, ta lấy diện tích xung quanh nhân với hai lần diện tích đáy

3.Ví dụ và bài tập:

Ví dụ 1 (nhận biết) : Tính diện tích xung quanh của hình hộp chữ nhật biết chu vi của mặt đáy là 40 dm, chiều cao là 100cm.

Hướng dẫn:                         GIẢI

Đổi: 100cm = 10dm

Hình hộp chữ nhật có diện tích xung quanh là:

40 × 10 =400 (dm^2)

Đáp số: 400 dm^2

Ví dụ 2 (thông hiểu) : Cho hình hộp chữ nhật có chiều dài là 8dm, chiều rộng là 0,5m và chiều cao là ⅚ m.

• Chu vi đáy của hình hộp chữ nhật là bao nhiêu?
• Diện tích xung quanh của hình hộp chữ nhật là bao nhiêu?
• Tính diện tích đáy của hình hộp chữ nhật?
• Diện tích toàn phần của hình hộp chữ nhật là bao nhiêu?

Hướng dẫn:                         GIẢI

Đổi: 8dm = 0,8 m = ⅘ m 0,5m = ½ m

• Hình hộp chữ nhật có chu vi đáy là:

• Hình hộp chữ nhật có diện tích xung quanh là:

• Diện tích của 2 đáy của hình hộp chữ nhật là:

• Hình hộp chữ nhật có diện tích toàn phần là:

Đáp số:

• 
• 
•  2/5 m^2
• 

Ví dụ 3 (vận dụng thấp) : Cho hình hộp chữ nhật có diện tích 1 đáy là 90, diện tích toàn phần là 9. Hỏi chiều rộng và chiều dài của hình hộp chữ nhật đấy là bao nhiêu cm? biết rằng chiều cao của hình hộp chữ nhật là 10dm, tỉ lệ giữa chiều dài và chiều rộng là 5/4.

Đổi: 9m^2= 900 dm^2

Phương hướng giải: Đề cho diện tích 1 đáy => ta tìm được diện tích 2 đáy. Lại có diện tích toàn phần => ta tìm được diện tích xung quanh. Tiếp tục có được chiều cao, ta tìm được chu vi đáy => tìm được tổng của chiều dài và chiều rộng. Dựa vào tỉ lệ, ta tìm được chiều rộng.

Hình hộp chữ nhật có diện tích hai đáy là:

90 ×2=180(dm^2)

Hình hộp chữ nhật có diện tích xung quanh là:

900 -180=720(dm^2)

Hình hộp chữ nhật có chu vi đáy là:

720÷10=72(dm)

Hình hộp chữ nhật có nửa chu vi đáy là:

72÷2=36(dm)

Dựa vào công thức tổng tỉ:

Tổng số phần bằng nhau:

5 + 4 = 9 (phần)

Giá trị một phần:

36 ÷9=4

Hình hộp chữ nhật có chiều rộng là:

4×4=16(dm)= 160 (cm)

Hình hộp chữ nhật có chiều dài là:

4×5=20(dm)= 200(cm)

Đáp số: Chiều rộng: 160cm

Chiều dài: 200cm.

Ví dụ 4 (vận dụng cao) : Bạn An có một hộp diêm có dạng hình hộp chữ nhật có diện tích toàn phần là 10  cm^2, chiều dài gấp đôi chiều rộng, nửa chu vi đáy đúng bằng ⅖ tích của chiều dài và chiều rộng. Tinh chiều rộng và chiều dài của hộp diêm? biết chiều cao của hộp diêm là 7,5cm.

Hướng dẫn:                                                               GIẢI

Diện tích xung quanh của hộp diêm là:

2×(chiều dài+chiều rộng)×7,5 = 15 ×(chiều dài+chiều rộng)

= 15 ×nửa chu vi đáy.

Mà nửa chu vi đáy bằng ⅖ tích chiều dài và chiều rộng

Diện tích 2 đáy của hộp diêm là: 2 × chiều dài × chiều rộng

Mà tổng của diện tích xung quanh và diện tích 2 đáy thì bằng diện tích toàn phần: Vì vậy: 6 × chiều dài × chiều rộng + 2 × chiều dài × chiều rộng = 10

Đặt thừa số chung:

chiều dài × chiều rộng × (6 + 2) = 10

chiều dài × chiều rộng × 8 = 10

chiều dài × chiều rộng = 5/4

Vậy tích của chiều dài và chiều rộng là 5/4, dựa vào đề bài: chiều dài gấp đôi chiều rộng. Dựa vào công thức tích tỉ:

Tổng số phần bằng nhau: 2 × 1 = 3 (phần)

Giá trị một phần:

Hình hộp chữ nhật có chiều dài là:

Hình hộp chữ nhật có chiều rộng là:

Đáp số:

Chiều dài:

Chiều rộng: